【数学】グラフの平行移動と座標変換って同値だよって話

問題

[m]\int_{-\pi-a}^{-\pi+a} f(cosx)dx[/m]

を、積分範囲が[m]-a[/m]~[m]a[/m]の積分に直せ。

別に入試問題ではないですが、
東大志望の子がこういった式変形の過程でこんがらがってしまっていたので、参考までに。

 

2種類のアプローチ

平行移動

1番に思いつくのは、おそらく平行移動でしょう。

今、積分範囲が[m]-\pi-a[/m]~[m]-\pi+a[/m]の積分を考えているので、
被積分関数のグラフ全体を[m]\pi[/m]だけ平行移動してしまえば、積分範囲を[m]-a[/m]~[m]a[/m]に直せます。

計算の上では、

[m]x\to x-\pi[/m]と書き換えて、
[m]\int_{-\pi-a}^{-\pi+a} f(cosx)dx[/m]
[m]\to \int_{-a}^{a} f(cos(x-\pi))dx=\int_{-a}^{a} f(-cosx)dx[/m]

座標変換

別の方法として、いわゆる置換というやつをしてやります。

[m]\begin{array}{c|ccc} x & -\pi-a & \to & -\pi+a \\ \hline t & -a & \to & a \\ \end{array}[/m]

を満たすべく、[m]t=x+\pi[/m]と置換します。

計算の上では、

[m]x=t-\pi[/m]より[m]dx=dt[/m]で、
[m]\int_{-\pi-a}^{-\pi+a} f(cosx)dx[/m]
[m]=\int_{-a}^{a} f(cos(t-\pi))dt=\int_{-a}^{a} f(-cost)dt[/m]

[m]t[/m]は単なる積分変数なので別の文字に書き換えてもよくて、

[m]\int_{-a}^{a} f(-cost)dt=\int_{-a}^{a} f(-cosx)dx[/m]

結果は先ほどと同じですね!

 

平行移動と座標変換は同値

まあ高校の範囲ではって話ですね(厳密には座標変換⊃平行移動…なのかな?)。

行う計算も事実上変わりませんが、イメージはこんな感じ。

黒いグラフ座標軸がもとの関数、
赤いグラフ平行移動後のグラフ
緑の軸座標変換後の軸です。

グラフを動かすのが平行移動
軸を動かすのが座標変換ということですね!

「黒い軸に対する赤いグラフ」と「緑の軸に対する黒いグラフ」の位置関係は変わらないので、結果は同値です。

 

まとめ

余計に分かりにくい!という声もあるかもしれませんが、

問題によって平行移動の方がイメージしやすい場合と座標変換の方がイメージしやすい場合とがあると思うので、使い分けていけるといいですね!

それでは。