1/(xⁿ+1)を積分する【部分分数分解】
$\frac{1}{x^5+1}$の積分が分かりません!
部分分数分解を使って簡単な積分へとばらしていくことで、解くことができます。
ついでに$\frac{1}{x^3+1}$や$\frac{1}{x^4+1}$についても取り上げますね。
$\frac{1}{x^n+1}$の積分の方法
$\frac{1}{x^n+1}$の積分はそのように計算するのでしょうか。
よく取り上げられるものについては、部分分数分解を用いて解くことができます。
また、$\tan{x}$の逆関数がキーワードになってきます。
それでは、$n$の値ごとに詳しい解法を見ていきましょう。
$n=2$のとき
$$\int{\frac{1}{x^2+1}}dx$$
早速トリッキーですが、こちらの分数関数の積分では部分分数分解を用いません。
$x=\tan{x}$と置換する方法がオーソドックスですが、$\arctan{x}$を微分すると$\frac{1}{x^2+1}$になるということを知っていれば一発で計算できます。
$$\int{\frac{1}{x^2+1}}dx=\arctan{x}+C$$
$\arctan{x}$とは、$\tan{x}$の逆関数です。
$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき、$$y=\tan{x}\Leftrightarrow x=\arctan{y}$$が成り立つような関数のことです。
なぜ$\arctan{x}$の微分が$\frac{1}{x^2+1}$になるのかという点については「具体例で学ぶ数学」さんが参考になるので、気になる方は見てみてください。
$n=3$のとき
$$\int{\frac{1}{x^3+1}}dx$$
こちらは部分分数分解を利用します。
部分分数分解
まずはじめに$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$より、$\alpha,\beta,\gamma$を実数として$$\frac{1}{x^3+1}=\frac{\alpha}{x+1}+\frac{\beta x+\gamma}{x^2-x+1}$$と置くと、
$$\begin{align}
(右辺)&=\frac{\alpha(x^2-x+1)+(\beta x+\gamma)(x+1)}{x^3+1}\\
&=\frac{(\alpha+\beta)x^2+(-\alpha+\beta+\gamma)x+(\alpha+\gamma)}{x^3+1}
\end{align}$$
と変形でき、左辺と右辺の分子について係数比較を考えることができます。
$x$の恒等式として係数比較を行うと、
$$\begin{cases}
\alpha+\beta=0\\
-\alpha+\beta+\gamma=0\\
\alpha+\gamma=1
\end{cases}$$
という条件式を得られ、これらを連立して解くと、
$$\begin{cases}
\alpha=\frac{1}{3}\\
\beta=-\frac{1}{3}\\
\gamma=\frac{2}{3}
\end{cases}$$
となります。したがって、
$$\frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{3(x+1)}+\frac{-x+2}{3(x^2-x+1)}$$
と部分分数分解できることがわかりました。
これを用いてもとの積分を変形します。
$$\begin{align}
\int{\frac{1}{x^3+1}}dx&=\int{\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}}dx\\
&=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}dx+\frac{1}{3}\int{\frac{-x+2}{x^2-x+1}}dx\\
&=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}dx+\frac{1}{6}\int{\frac{-(2x-1)+3}{x^2-x+1}}dx\\
&=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}dx-\frac{1}{6}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}dx+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2-x+1}}dx
\end{align}$$
第1項の積分
$$\begin{align}
\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}}dx&=\frac{1}{3}\int{\frac{(x+1)^\prime}{x+1}}\\
&=\frac{1}{3}\log{|x+1|}+C_1
\end{align}$$
第2項の積分
$$\begin{align}
-\frac{1}{6}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}dx&=-\frac{1}{6}\int{\frac{(x^2-x+1)^\prime}{x^2-x+1}}dx\\
&=-\frac{1}{6}\log{|x^2-x+1|}+C_2
\end{align}$$
第3項の積分
$$\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2-x+1}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx$$
$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{\theta}$とすると、$dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}$より、
$$\begin{align}
\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx&=\frac{\sqrt{3}}{3}\int{\frac{1}{\tan^2{\theta}+1}}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}\\
&=\frac{\sqrt{3}}{3}\int{d\theta}\\
&=\frac{\sqrt{3}}{3}\theta+C_3\\
&=\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan{\left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}}+C_3
\end{align}$$
各項の積分定数をまとめて$C$とすると、結局、
$$\begin{align}
\int{\frac{1}{x^3+1}}dx=&\frac{1}{3}\log{|x+1|}-\frac{1}{6}\log{|x^2-x+1|}\\
&+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan{\left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}}+C
\end{align}$$
と書けます。
$n=4$のとき
$$\int{\frac{1}{x^4+1}}dx$$
こちらも部分分数分解を利用します。
部分分数分解
$$\begin{align}
x^4+1&=x^4+2x^2+1-2x^2\\
&=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2\\
&=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)
\end{align}$$
より、$\alpha,\beta,\gamma,\delta$を実数として
$$\frac{1}{x^4+1}=\frac{\alpha x+\beta}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{\gamma x+\delta}{x^2-\sqrt{2}x+1}$$
と置くと、
$$\begin{align}
(右辺)&=\frac{(\alpha x+\beta)(x^2-\sqrt{2}x+1)+(\gamma x+\delta)(x^2+\sqrt{2}x+1)}{x^4+1}\\
&=\frac{(\alpha+\gamma)x^3+(-\sqrt{2}\alpha+\beta+\sqrt{2}\gamma+\delta)x^2+(\alpha-\sqrt{2}\beta+\gamma+\sqrt{2}\delta)x+(\beta+\delta)}{x^4+1}
\end{align}$$
と変形でき、左辺と右辺の分子について係数比較を考えることができます。
$x$の恒等式として係数比較を行うと、
$$\begin{cases}
\alpha+\gamma=0\\
-\sqrt{2}\alpha+\beta+\sqrt{2}\gamma+\delta=0\\
\alpha-\sqrt{2}\beta+\gamma+\sqrt{2}\delta=0\\
\beta+\delta=1
\end{cases}$$
という条件式を得られ、これらを連立して解くと、
$$\begin{cases}
\alpha=\frac{\sqrt{2}}{4}\\
\beta=\frac{1}{2}\\
\gamma=-\frac{\sqrt{2}}{4}\\
\delta=\frac{1}{2}
\end{cases}$$
となります。したがって、
$$\frac{1}{x^4+1}=\frac{\sqrt{2}x+2}{4(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\frac{-\sqrt{2}x+2}{4(x^2-\sqrt{2}x+1)}$$
と部分分数分解できることがわかりました。
これを用いてもとの積分を変形します。
$$\begin{align}
\int{\frac{1}{x^4+1}}dx=&\int{\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}}dx\\
=&\frac{1}{4}\int{\frac{\sqrt{2}x+2}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx+\frac{1}{4}\int{\frac{-\sqrt{2}x+2}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx\\
=&\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{2x+2\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx-\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{2x-2\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx\\
=&\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx+\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx\\
&-\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx+\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx\\
\end{align}$$
第1項の積分
$$\begin{align}
\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx&=\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{(x^2+\sqrt{2}x+1)^\prime}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx\\
&=\frac{\sqrt{2}}{8}\log{|x^2+\sqrt{2}x+1|}+C_1
\end{align}$$
第2項の積分
$$\begin{align}
\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx&=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}}dx\\
&=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}}dx
\end{align}$$
$x+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{\theta}$とすると、$dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}$より、
$$\begin{align}
\frac{1}{4}\int{\frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}}dx&=\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{1}{\tan^2{\theta}+1}}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\int{d\theta}\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\theta+C_2\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan{(\sqrt{2}x+1)}+C_2
\end{align}$$
第3項の積分
$$\begin{align}
-\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx&=-\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{(x^2-\sqrt{2}x+1)^\prime}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx\\
&=-\frac{\sqrt{2}}{8}\log{|x^2-\sqrt{2}x+1|}+C_3
\end{align}$$
第4項の積分
$$\begin{align}
\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\frac{\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx&=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}}dx\\
&=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}}dx
\end{align}$$
$x-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{\phi}$とすると、$dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{d\phi}{\cos^2{\phi}}$より、
$$\begin{align}
\frac{1}{4}\int{\frac{1}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}}dx&=\frac{\sqrt{2}}{4}\int{\frac{1}{\tan^2{\phi}+1}}\cdot\frac{d\phi}{\cos^2{\phi}}\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\int{d\phi}\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\phi+C_2\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan{(\sqrt{2}x-1)}+C_4
\end{align}$$
各項の積分定数をまとめて$C$とすると、結局、
$$\begin{align}
\int{\frac{1}{x^4+1}}dx=\frac{\sqrt{2}}{8}\{&\log{|x^2+\sqrt{2}x+1|}+2\arctan{(\sqrt{2}x+1)}\\
&-\log{|x^2-\sqrt{2}x+1|}+2\arctan{(\sqrt{2}x-1)}\}+C
\end{align}$$
と書けます。
$n=5$のとき
$$\int{\frac{1}{x^5+1}}dx$$
こちらは部分分数分解を利用しますが、分母を2次とするために一工夫します。
部分分数分解
$$\begin{align}
x^5+1&=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\\
&=(x+1)\left(x^2-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)x^2\\
\end{align}$$
ここで$x+\frac{1}{x}=y$と置くと、$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=y^2-2$より、
$$\begin{align}
\left(x^2-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)&=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)+1\\
&=(y^2-2)-y+1\\
&=y^2-y-1\\
&=\left(y-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(y-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)
\end{align}$$
と書けるので、$x^5+1$の因数分解は結局、
$$\begin{align}
x^5+1&=(x+1)\left(x^2-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)x^2\\
&=(x+1)\left(y-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(y-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)x^2\\
&=(x+1)\left(x+\frac{1}{x}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{x}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)x^2\\
&=(x+1)\left(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1\right)\left(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1\right)
\end{align}$$
となります。これより、$\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$を実数として
$$\frac{1}{x^5+1}=\frac{\alpha}{x+1}+\frac{\beta x+\gamma}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}+\frac{\delta x+\epsilon}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}$$
と置くと、
$$\begin{align}
(右辺)&=\frac{\alpha(x^4-x^3+x^2-x+1)+(\beta x+\gamma)(x+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)+(\delta x+\epsilon)(x+1)(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}{x^5+1}\\
&=\frac{(\alpha+\beta+\delta)x^4+(-\alpha+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\beta+\gamma+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\delta+\epsilon)x^3+(\alpha+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\beta+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gamma+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\delta+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\epsilon)x^2+(-\alpha+\beta+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gamma+\delta+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\epsilon)x+(\alpha+\gamma+\epsilon)}{x^5+1}
\end{align}$$
と変形でき、左辺と右辺の分子について係数比較を考えることができます。
$x$の恒等式として係数比較を行うと、
$$\begin{cases}
\alpha+\beta+\delta=0\\
-\alpha+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\beta+\gamma+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\delta+\epsilon=0\\
\alpha+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\beta+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gamma+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\delta+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\epsilon=0\\
-\alpha+\beta+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gamma+\delta+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\epsilon=0\\
\alpha+\gamma+\epsilon=1
\end{cases}$$
という条件式を得られ、これらを連立して解くと、
$$\begin{cases}
\alpha=\frac{1}{5}\\
\beta=-\frac{1+\sqrt{5}}{10}\\
\gamma=\frac{2}{5}\\
\delta=-\frac{1-\sqrt{5}}{10}\\
\epsilon=\frac{2}{5}
\end{cases}$$
となります。したがって、
$$\frac{1}{x^5+1}=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{-(1+\sqrt{5})x+4}{10(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}+\frac{-(1-\sqrt{5})x+4}{10(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}$$
と部分分数分解できることがわかりました。
これを用いてもとの積分を変形します。
$$\begin{align}
\int{\frac{1}{x^5+1}}dx=&\int{\frac{1}{(x+1)(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
=&\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x+1}}dx+\frac{1}{10}\int{\frac{-(1+\sqrt{5})x+4}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}}dx+\frac{1}{10}\int{\frac{-(1-\sqrt{5})x+4}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}}dx\\
=&\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x+1}}dx\\
&+\frac{1}{5}\int{\frac{2x+2(1-\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
&+\frac{1}{5}\int{\frac{2x+2(1+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
=&\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x+1}}dx\\
&+\frac{1}{5}\int{\frac{2x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{(1-\sqrt{5})(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
&+\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{5-3\sqrt{5}}{2}}{(1-\sqrt{5})(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
&+\frac{1}{5}\int{\frac{2x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}{(1+\sqrt{5})(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
&+\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{5+3\sqrt{5}}{2}}{(1+\sqrt{5})(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}}dx\\
\end{align}$$
第1項の積分
$$\begin{align}
\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x+1}}dx&=\frac{1}{5}\int{\frac{(x+1)^\prime}{x+1}}dx\\
&=\frac{1}{5}\log{|x+1|}+C_1
\end{align}$$
第2項の積分
$$\begin{align}
\frac{1}{5(1-\sqrt{5})}\int{\frac{2x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}}dx&=\frac{1}{5(1-\sqrt{5})}\int{\frac{(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)^\prime}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}}dx\\
&=\frac{1}{5(1-\sqrt{5})}\log{|x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1|}+C_2
\end{align}$$
第3項の積分
$$\begin{align}
\frac{1}{5(1-\sqrt{5})}\int{\frac{\frac{5-3\sqrt{5}}{2}}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}}dx&=\frac{5-\sqrt{5}}{20}\int{\frac{1}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}}dx\\
&=\frac{5-\sqrt{5}}{20}\int{\frac{1}{(x-\frac{1+\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4})^2}}dx
\end{align}$$
$x-\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\tan{\theta}$とすると、$dx=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}$より、
$$\begin{align}
\frac{5-\sqrt{5}}{20}\int{\frac{1}{(x-\frac{1+\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4})^2}}dx&=\frac{5-\sqrt{5}}{20}\cdot\frac{4}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\int{\frac{1}{\tan^2{\theta}+1}}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}\\
&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10}\int{d\theta}\\
&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10}\theta+C_3\\
&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10}\arctan{\frac{4x-1-\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}}+C_3
\end{align}$$
第4項の積分
$$\begin{align}
\frac{1}{5(1+\sqrt{5})}\int{\frac{2x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}}dx&=\frac{1}{5(1+\sqrt{5})}\int{\frac{(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)^\prime}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}}dx\\
&=\frac{1}{5(1+\sqrt{5})}\log{|x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1|}+C_4
\end{align}$$
第5項の積分
$$\begin{align}
\frac{1}{5(1+\sqrt{5})}\int{\frac{\frac{5+3\sqrt{5}}{2}}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}}dx&=\frac{5+\sqrt{5}}{20}\int{\frac{1}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}}dx\\
&=\frac{5+\sqrt{5}}{20}\int{\frac{1}{(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2}}dx
\end{align}$$
$x-\frac{1-\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\tan{\theta}$とすると、$dx=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}$より、
$$\begin{align}
\frac{5+\sqrt{5}}{20}\int{\frac{1}{(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2}}dx&=\frac{5+\sqrt{5}}{20}\cdot\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\int{\frac{1}{\tan^2{\theta}+1}}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}\\
&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\int{d\theta}\\
&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\theta+C_5\\
&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\arctan{\frac{4x-1+\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}+C_5
\end{align}$$
各項の積分定数をまとめて$C$とすると、結局、
$$\begin{align}
\int{\frac{1}{x^5+1}}dx=&\frac{1}{5}\log{|x+1|}\\
&+\frac{1}{5(1-\sqrt{5})}\log{|x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1|}\\
&+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10}\arctan{\frac{4x-1-\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}}\\
&+\frac{1}{5(1+\sqrt{5})}\log{|x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1|}\\
&+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\arctan{\frac{4x-1+\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}+C
\end{align}$$
と書けます。
まとめ
部分分数分解と置換を駆使すれば解けます!
(n=6以上は気が遠くなりますが…)
今回は$\frac{1}{x^n+1}$の積分の具体的な計算方法を見ていきました。
$n$がいくつであっても方針はほぼ同じで、部分分数分解と置換を利用すれば解けるということがお分かりいただけたでしょうか。
知っていれば面倒なだけで難しくはないので、みなさんも遭遇したらぜひ挑戦してみてください!
それでは。
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