【数学】二直線のなす角で加法定理を使わない裏技【センター2007[2](3)】

問題

センター2007[2]

$a>0$として、$x$の関数$f(x)$と$g(x)$を$$f(x)=x^3-x$$$$g(x)=f(x-a)+2a$$とする。

(中略)

(3)
$a=\sqrt{3}$のとき、(中略)交点$P(\fbox{ソ}, 0)$における曲線$y=f(x)$の接線と曲線$y=g(x)$の接線とのなす角を$\theta(0≦\theta<\frac{\pi}{2})$とすると$$\tan{\theta}=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$$である。

詳しい解説はこちら

 

普通に解くなら$\tan$の加法定理

$f(x)-g(x)=0$を解くと、交点のひとつが$P(0, 0)$と求まります。

普通ならここから、
「$x$軸と$y=f(x)$とが点$P$でなす角」を$\alpha$、
「$x$軸と$y=g(x)$とが点$P$でなす角」を$\beta$と置くと、

$$\begin{cases}\tan{\alpha}=f'(0)&\\\tan{\beta}=g'(0)&\end{cases}$$

となることを用いて、加法定理

$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

から解きますね。

東進の解答解説ももちろんこの方針で解いています。

 

加法定理が嫌いな人はベクトルで解くべし!!

私は$\tan$の加法定理がすこぶる嫌いです。

入試本番も公式を覚えていきませんでした(いざとなったら$\sin$と$\cos$の加法定理から導くつもりでした)。

そんな人にとっては、ベクトルで解くほうが断然簡単です。

$$\begin{cases}f'(0)=-1&\\g'(0)=8&\end{cases}$$

を得るところまでは同様です。

そこからベクトル方程式の考え方を使って、方向ベクトルを

$$\begin{cases}\vec{d}_f=(1,f'(0))=(1,-1)&\\\vec{d}_g=(1,g'(0))=(1,8)&\end{cases}$$

と置きます。ここから内積を考えていけば答えにたどり着きます。

$$\begin{eqnarray}\vec{d}_f\cdot\vec{d}_g&=&|\vec{d}_f||\vec{d}_g|\cos{\theta}\\⇔\cos{\theta}&=&\frac{\vec{d}_f\cdot\vec{d}_g}{|\vec{d}_f||\vec{d}_g|}\\&=&\frac{(1,-1)\cdot(1,8)}{\sqrt{(-1)^2+1^2}\sqrt{8^2+1^2}}\\&=&\frac{1-8}{\sqrt{2}\sqrt{65}}\\&=&-\frac{7}{\sqrt{130}}\\⇔\tan{\theta}&=&\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}-1}\\&=&\sqrt{\frac{81}{49}}\\&=&\frac{9}{7}\end{eqnarray}$$

加法定理で解いた答えと一致します。

 

まとめ

数学Ⅱともなると、ややこしい公式が一気に増えますね。
$\tan$の加法定理もその一つです。忘れたころに登場します。

その煩わしさを解決する手段として、ベクトル方程式があります。

内積を考えることで、二直線のなす角が求まりました!

使える場面は他にもあるはずなので、ぜひ活用していきたいですね。

それでは。