【Σ】数列の和の和を計算しよう

問題

解説

方針は以下の通りです。

一般項を求める

$1,2,4,8,…$を自然数$m$を用いて$2^{(m-1)}$と書くとすると、いま知りたい数列の一般項は、

$$a_k=\sum_{m=1}^k2^{(m-1)}$$

となります。
このΣを計算すると、

$$\frac{2^k-1}{2-1}=2^k-1$$

となりました。
念のため検算をしてみましょう。

$$\begin{eqnarray}
a_1&=2^1-1&=1\\
a_2&=2^2-1&=1+2\\
a_3&=2^3-1&=1+2+4\\
a_4&=2^4-1&=1+2+4+8\\
\end{eqnarray}$$

意図した数列になっていそうですね。

一般項に対してΣを使う

一般項がわかったところで、この数列を第n項まで足してみましょう。

$$\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n}a_k
&=&\sum_{k=1}^{n}(2^k-1)\\
&=&\sum_{k=1}^{n}2^k-\sum_{k=1}^{n}1\\
&=&2\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}1\\
&=&2\cdot\frac{2^n-1}{2-1}-n\\
&=&2^{n+1}-n-2
\end{eqnarray}$$

Σは分配法則が使えるので、複雑な式に対してΣが付いているときは分解して考えていきましょう。

まとめ

数列の和の和を求めるときのポイントは以下のとおり。

この流れを知っておけば基本的な数列和はクリアできます。
あとは繰り返し練習を行って慣れていきましょう！

それでは。